作者:佚名 来源:追寻数学本质
发布/更新时间:2024-03-30 11:15:40
第一章 数和数的运算
一、概念
(一)整数
1、整数的意义
自然数和 0 都是整数。
2、自然数
我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1,2,3„„叫做自然数。
一个物体也没有,用 0 表示。0 也是自然数。
3、计数单位
一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿„„都是计数单位。其中“一”是计数的 基本单位。
10 个 1 是 10,10 个 10 是 100„„每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫 做十进制计数法。
4、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5、整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读, 再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的 0 都不读出来,其它数位连续有几个 0 都 只读一个零。
6、整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数 位上写 0。
7、一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时 还可以根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。
⑪ 准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的 数。改写后的数是原数的准确数。
例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
⑫ 近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个近 似数来表示。 例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。⑬ 四舍五入法:求近似数,
看尾数最高位上的数是几,比 5 小就舍去,是 5 或大于 5 舍去尾数向前一位进 1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
8、整数大小的比较:位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位,最高位上的数大, 那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大。以此类推。
(二)小数
1、小数的意义
把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份„„ 得到的十分之几、百分之几、千分之几„„ 可以用小数表示。如 1/10 记作 0.1,7/100 记作 0.07。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几„„
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。
小数点右边第一位叫十分位,计数单位是十分之一(0.1);第二位叫百分位,计数单位是百分之一(0.01)„„小数部分最大的计数单位是十分之一,没有最小的计数单位。小数部分有几个数位,就叫做几位小数。如 0.36 是两位小数,3.066 是三位小数在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是 10。
2、小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
3、小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
4、比较小数的大小:先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大„„
5、小数的分类
⑪ 纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。例如: 0.25 、 0.368 都是纯小数。
⑫ 带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。 例如: 3.25 、 5.26 都是带小数。
⑬ 有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。 例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
⑭ 无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。 例如: 4.33 „„ 3.1415926 „„
⑮ 无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限 不循环小数。
⑯ 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。 例如: 3.555 „„ 0.0333 „„ 12.109109 „„
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如: 3.99 „„的循环节是“ 9 ” , 0.5454 „„的循环节是“ 54 ” 。
⑰ 纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。 例如: 3.111 „„ 0.5656 „„
⑱ 混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。 3.1222 „„ 0.03333 „„
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、 末位数字上各点一个圆点。如果循环 节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
(三)分数
1、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
2、分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法来读。
3、分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。
4、比较分数的大小:
⑪ 分母相同的分数,分子大的那个分数就大。
⑫ 分子相同的分数,分母小的那个分数就大。
⑬ 分母和分子都不同的分数,通常是先通分,转化成通分母的分数,再比较大小。
⑭ 如果被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大;
如果整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就大。
5、分数的分类
按照分子、分母和整数部分的不同情况,可以分成:真分数、假分数、带分数第 ⑪ 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。
⑫ 假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于 1。
⑬ 带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
6、分数和除法的关系及分数的基本性质
⑪ 除法是一种运算,有运算符号;分数是一种数。因此,一般应叙述为被除数相当于分子, 而不能说成被除数就是分子。
⑫ 由于分数和除法有密切的关系,根据除法中“商不变”的性质可得出分数的基本性质。
⑬ 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(0 除外),分数的大小不变,这叫做分数的 基本性质,它是约分和通分的依据。
7、约分和通分
⑪ 分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数。
⑫ 把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分。
⑬ 约分的方法:用分子和分母的公约数(1 除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
⑭ 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
⑮ 通分的方法:先求出原来几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
8、倒 数
⑪ 乘积是 1 的两个数互为倒数。
⑫ 求一个数(0 除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。
⑬ 1 的倒数是 1,0 没有倒数
(四)百分数
1、百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用 "%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
2、百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读法来读。
3、百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
4、百分数与折数、成数的互化:
例如:三折就是 30%,七五折就是 75%,成数就是十分之几,则六成五就是 65%。
5、纳税和利息:
税率:应纳税额与各种收入的比率。
利率:利息与本金的百分率。由银行规定按年或按月计算。
利息的计算公式:利息=本金×利率×时间
6、百分数与分数的区别主要有以下三点:
⑪ 意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系,不能表示某一具体数量。如:可以说 1 米 是 5 米 的 20%,不可以说“一段绳子长为 20%米。”因此,百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份,
表示这样一份或几份的数”。分数不仅 可以表示两数之间的倍数关系,如:甲数是 3,乙数是 4,甲数是乙数的?;还可以表示一定的数量,如:犌Э恕 米等。
⑫ 应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中,常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、计算中,得不到整数结果时使用。
⑬ 书写形式不同。百分数通常不写成分数形式,而采用百分号“%”来表示。如:百分之四
十五,写作:45%;百分数的分母固定为 100,因此,不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数,都不约分;百分数的分子可以是自然数,也可以是小数。而分数的分子只能是自然数,它的表示形式有:真分数、假分数、带分数,计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数。
7、数的互化
⑪ 小数化成分数:原来有几位小数,就在 1 的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
⑫ 分数化成小数:用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成有限小数的,一般保留三位小数。
⑬ 一个最简分数,如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数;如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
⑭ 小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
⑮ 百分数化成小数:把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
⑯ 分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
⑰ 百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
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