作者:佚名 来源:追寻数学本质
发布/更新时间:2024-03-30 11:15:40
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(五)数的整除
1、整除的意义
整数 a 除以整数 b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a 。
除尽的意义 甲数除以乙数,所得的商是整数或有限小数而余数也为 0 时,我们就说甲数能被乙数除尽,(或者说乙数能除尽甲数)这里的甲数、乙数可以是自然数,也可以是小数(乙数 不能为 0)。
2、约数和倍数
⑪ 如果数 a 能被数 b(b ≠ 0)整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数)。倍数和约数是相互依存的。
⑫ 一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是 1,最大的约数是它本身。
⑬ 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
3、奇数和偶数
⑪ 自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。
① 能被 2 整除的数叫做偶数。0 也是偶数。
② 不能被 2 整除的数叫做奇数。
⑫ 奇数和偶数的运算性质:
① 相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数。
② 奇数+奇数=偶数,奇数+偶数=奇数,偶数+偶数=偶数;奇数-奇数=偶数,
奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数,偶数-偶数=偶数;奇数×奇数=奇数,奇数×偶数=偶数, 偶数×偶数=偶数。
4、整除的特征
⑪ 个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被 2 整除。
⑫ 个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除。
⑬ 一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除。
⑭ 一个数各位数上的和能被 9 整除,这个数就能被 9 整除。
⑮ 能被 3 整除的数不一定能被 9 整除,但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。
⑯ 一个数的末两位数能被 4(或 25)整除,这个数就能被 4(或 25)整除。
⑰ 一个数的末三位数能被 8(或 125)整除,这个数就能被 8(或 125)整除。
5、质数和合数
⑪ 一个数,如果只有 1 和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100 以内的质数
有:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、
73、79、83、89、97。
⑫ 一个数,如果除了 1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12 都是合数。
⑬ 1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和 1。
6、分解质因数
⑪ 质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如 15=3×5,3 和 5 叫做 15 的质因数。
⑫ 分解质因数
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。 先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。
⑬ 公因(约)数
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫这几个数的最大公因数。
公因数只有 1 的两个数,叫做互质数。成互质关系的两个数,有下列几种情况:①和任何自然数互质;
②相邻的两个自然数互质;
③当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质;
④两个合数的公约数只有 1 时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是 1。
⑭ 公倍数
① 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数。
求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商只有公约数 1 为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数。
② 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
二、性质和规律
(一)商不变的规律
商不变的规律:在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。
(二)小数的性质
小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位,原来的数就扩大 10 倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大 100
倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大 1000 倍„„
2、小数点向左移动一位,原来的数就缩小 10 倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小 100
倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小 1000 倍„„
3、小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。
(四)分数的基本性质
分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
(五)分数与除法的关系
1、被除数÷除数= 被除数/除数
2、因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。
3、被除数 相当于分子,除数相当于分母。
三、运算法则
(一)整数四则运算的法则
1、整数加法:
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。加数是部分数,和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2、整数减法:
已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里,已知的和叫做被减数,已知的加数叫做减数,未知的加数叫做差。被减数是总数,
减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法:
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里,0 和任何数相乘都得 0. 1 和任何数相乘都的任何数。
一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4、整数除法:
已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里,0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0,所以任何一个数除以 0,均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
5、乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
(二)小数四则运算
1、小数加法:
小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2、小数减法:
小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算.
3、小数乘法:
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几„„是多少。
4、小数除法:
小数除法的意义与整数除法的意义相同,就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
(三)分数四则运算
1、分数加法:
分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。
2、分数减法:
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算。
3、分数乘法:
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。
4、分数除法:
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
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