祖冲之

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　　尽管说法有出入，但是祖冲之曾经求得“密率”，并且明确地用上、下两限来说明圆周率这个数值的范围，是可以肯定的。在一千五百年前，他有这样的成就和认识，真值得我们钦佩。
　　在推算圆周率时，祖冲之付出了不知多少辛勤的劳动。如果从正六边形算起，算到24576边时，就要把同一运算程序反复进行十二次，而且每一运算程序又包括加减乘除和开方等十多个步骤。我们现在用纸笔算盘来进行这样的计算，也是极其吃力的。当时祖冲之进行这样繁难的计算，只能用筹码（小竹棍）来逐步推演。如果头脑不是十分冷静精细，没有坚韧不拔的毅力，是绝对不会成功的。祖冲之顽强刻苦的研究精神，是很值得推崇的。
　　祖冲之死后，他的儿子祖暅（xuan玄）继续父亲的研究，进一步发现了计算圆球体积的方法。
　　在我国古代数学著作《九章算术》中，曾列有计算圆球体积的公式，但很不精确。刘徽虽然曾经指出过它的错误，但究竟应当怎样计算，他也没有求得解决。经祖暅刻苦钻研，终于找到了正确的计算方法。他所推算出的计算圆球体积的公式是：圆球体积=π/c D（D代表球体直径）。这个公式一直到今天还被人们采用着。
　　祖冲之还曾写过《缀术》五卷，是一部内容极为精采的数学书，很受人们重视。唐朝的官办学校的算学科中规定：学员要学《缀术》四年；政府举行数学考试时，多从《缀术》中出题。后来这部书曾经传到朝鲜和日本。可惜到了北宋中期，这部有价值的著作竟失传了。
　　机械巧手 音哲旁通
　　指南车是一种用来指示方向的车子。车中装有机械，车上装有木人。车子开行之前，先把木人的手指向南方，不论车子怎样转弯，木人的手始终指向南方不变。这种车子结构已经失传，但是根据文献记载，可以知道它是利用齿轮互相带动的结构制成的。相传远古时代黄帝对蚩尤作战，曾经使用过指南车来辨别方向，但这不过是一种传说。根据历史文献记载，三国时代的发明家马钧曾经制造过这种指南车，可惜后来失传了。公元417年东晋大将刘裕（也就是后来宋朝的开国皇帝）进军至长安时，曾获得后秦统治者姚兴的一辆旧指南车，车子里面的机械已经散失，车子行走时，只能由人来转动木人的手，使它指向南方。后来齐高帝萧道成就令祖冲之仿制。祖冲之所制指南车的内部机件全是铜的。制成后，萧道成就派大臣王僧虔、刘休两人去试验，结果证明它的构造精巧，运转灵活，无论怎样转弯，木人的手常常指向南方。
　　当祖冲之制成指南车的时候，北朝有一个名叫索驭驎的来到南朝，自称也会制造指南车。于是萧道成也让他制成一辆，在皇宫里的乐游苑和祖冲之所制造的指南车比赛。结果祖冲之所制的指南车运转自如，索驭驎所制的却很不灵活。索驭驎只得认输，并把自己制的指南车毁掉了。祖冲之制造的指南车，我们虽然已无法看到原物，但是由这件事可以想象，它的构造一定是很精巧的。
　　祖冲之也制造了很有用的劳动工具。他看到劳动人民舂米、磨粉很费力，就创造了一种粮食加工工具，叫作水碓磨。古代劳动人民很早就发明了利用水力着米的水礁和磨粉的水磨。西晋初年，杜预曾经加以改进，发明了“连机碓”和“水转连磨”。一个连机碓能带动好几个石杵一起一落地舂米；一个水转连磨能带动八个磨同时磨粉。祖冲之又在这个基础上进一步加以改进，把水碓和水磨结合起来，生产效率就更加提高了。这种加工工具，现在我国南方有些农村还在使用着。
　　祖冲之还设计制造过一种千里船。它可能是利用轮子激水前进的原理造成的，一天能行一百多里。
　　祖冲之还根据春秋时代文献的记载，制了一个“欹器”，送给齐武帝的第二个儿子萧子良。欹器是古人用来警诫自满的器具。器内没有水的时候，是侧向一边的。里面盛水以后，如果水量适中，它就竖立起来；如果水满了，它又会倒向一边，把水泼出去。这种器具，晋朝的学者杜预曾试制三次，都没有成功；祖冲之却仿制成功了。由此可见，祖冲之对各种机械都有深刻的研究。
　　祖冲之的成就不仅限于自然科学方面，他还精通乐理．对于音律很有研究。
　　此外，祖冲之又著有《易义》、《老子义》、《庄子义》、《释论语》等关于哲学的书籍，都已经失传了。
　　祖冲之的儿子祖暅，也是一位杰出的数学家，他继承他父亲的研究，创立了球体体积的正确算法。在天文方面，他也能继承父业。他曾著《天文录》三十卷，《天文录经要诀》一卷，可惜这些书都失传了。他父亲制定的《大明历》，就是经他三次向梁朝政府建议，才被正式采用的。他还制造过记时用的漏壶造得很准确，并且作过一部《漏刻经》。
　　祖冲之在天文、历法、数学以及机械制造等方面的辉煌成就，充分表现了我国古代科学的高度发展水平。
　　祖冲之所以能够取得这样辉煌的成就，并不是偶然的。首先，当时社会生产正在逐步发展，需要有一定的科学成就来配合前进，因而就推动了科学的进步，祖冲之就在这时候取得了天文、数学和器械制造等方面的成绩。其次，从上古到这时候，在千百年的长时期中，已积累了不少科学成果，祖冲之就在前人创造的基础上做出了他的成绩。至于祖冲之个人的认真学习，刻苦钻研，不迷信古人，不畏惧守旧势力，不怕斗争，不避艰难，自然也都是取得杰出成就的重要原因。
　　祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。
【学术著作】
　　《隋书·经籍志》录有《长水校尉祖冲之集》五十一卷，但现已遗佚。
　　散见于各种史籍记载的还有以下著作：
　　《安边论》，佚。
　　《述异记》十卷，佚。
　　《易老庄义释》，佚。
　　《论语孝经注》，佚。
　　《缀术》六卷，佚。
　　《九章算术义注》九卷，佚。
　　《重差注》一卷，佚。
　　《大明历》
　　《上大明历表》
　　《驳议》
　　《开立圆术》
　　祖冲之生平著作很多，内容也是多方面的。在数学方面，所著《缀术》一书，是著名的“算经十书”之一，被唐代国子监列为算学课本，规定学习四年，惜已失传。在天文历法方面，他编制成《大明历》，并为大明历写了“驳议”。在古代典籍的注释方面，祖冲之有《易义》、《老子义》、《庄子义》、《释论语》、《释孝经》等著作，但亦皆失传。文学作品方面他著有《述异记》，在《太平御览》等书中可以看到这部著作的片断。
　　《缀术》一书，汇集了祖冲之父子的数学研究成果。这本书内容深奥，以至“学官莫能究其深奥，故废而不理”。《缀术》在唐代被收入《算经十书》，成为唐代国子监算学课本，当时学习《缀术》需要四年的时间，可见《缀术》的艰深。《缀术》曾经传至朝鲜，但到北宋时这部书就已轶失。
【人物影响】
　　祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在他所编制的《大明历》及为大明历所写的驳议中。
　　在祖冲之之前，人们使用的历法是天文学家何承天编制的《元嘉历》。祖冲之经过多年的观测和推算，发现《元嘉历》存在很大的差误。于是祖冲之着手制定新的历法，宋孝武帝大明六年（公元462年）他编制成了《大明历》。大明历在祖冲之生前始终没能采用，直到梁武帝天监九年（公元510年）才正式颁布施行。《大明历》的主要成就如下：
　　区分了回归年和恒星年，首次把岁差引进历法，测得岁差为45年11月差一度（今测约为70.7年差一度）。岁差的引入是中国历法史上的重大进步。
　　定一个回归年为365.24281481日（今测为365.24219878日），直到南宋宁宗庆元五年（公元1199年）杨忠辅制统天历以前，它一直是最精确的数据。
　　采用391年置144闰的新闰周，比以往历法采用的19年置7闰的闰周更加精密。
　　定交点月日数为27.21223日（今测为27.21222日）。交点月日数的精确测得使得准确的日月食预报成为可能，祖冲之曾用大明历推算了从元嘉十三年（公元436年）到大明三年（公元459年），23年间发生的4次月食时间，结果与实际完全符合。
　　得出木星每84年超辰一次的结论，即定木星公转周期为11.858年（今测为11.862年）。
　　给出了更精确的五星会合周期，其中水星和木星的会合周期也接近现代的数值。
　　提出了用圭表测量正午太阳影长以定冬至时刻的方法。
　　为纪念这位伟大的古代科学家，人们将月球背面的一座环形山命名为祖冲之环形山，将小行星1888命名为祖冲之小行星。
　　【祖冲之与圆周率】
　　求算圆周率的值是数学中一个非常重要也是非常困难的研究课题。中国古代许多数学家都致力于圆周率的计算，而公元5世纪祖冲之所取得的成就可以说是圆周率计算的一个跃进。祖冲之经过刻苦钻研，继承和发展了前辈科学家的优秀成果。他对于圆周率的研究，就是他对于我国乃至世界的一个突出贡献。祖冲之对圆周率数值的精确推算值，用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。
　　什么是圆周率呢？圆有它的圆周和圆心，从圆周任意一点到圆心的距离称为半径，半径加倍就是直径。直径是一条经过圆心的线段，圆周是一条弧线，弧线是直线的多少倍，在数学上叫做圆周率。简单说，圆周率就是圆的周长与它直径之间的比，它是一个常数，用希腊字母“π”来表示，为算式355÷113所得。在天文历法方面和生产实践当中，凡是牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。
　　如何正确地推求圆周率的数值，是世界数学史上的一个重要课题。我国古代数学家们对这个问题十分重视，研究也很早。在《周髀算经》和《九章算术》中就提出径一周三的古率，定圆周率为三，即圆周长是直径长的三倍。此后，经过历代数学家的相继探索，推算出的圆周率数值日益精确。西汉末年刘歆在为王莽设计制作圆形铜斛（一种量器）的过程中，发现直径为一、圆周为三的古率过于粗略，经过进一步的推算，求得圆周率的数值为3.1547。东汉著名科学家张衡推算出的圆周率值为3.162。三国时，数学家王蕃推算出的圆周率数值为3.155。魏晋之际的著名数学家刘徽在为《九章算术》作注时创立了新的推算圆周率的方法——割圆术。他设圆的半径为1，把圆周六等分，作圆的内接正六边形，用勾股定理求出这个内接正六边形的周长；然后依次作内接十二边形，二十四边形……，至圆内接一百九十二边形时，得出它的边长和为6.282048，而圆内接正多边形的边数越多，它的边长就越接近圆的实际周长，所以此时圆周率的值为边长除以2，其近似值为3.14；并且说明这个数值比圆周率实际数值要小一些。在割圆术中，刘徽已经认识到了现代数学中的极限概念。他所创立的割圆术，是探求圆周率数值的过程中的重大突破。后人为纪念刘徽的这一功绩，把他求得的圆周率数值称为“徽率”或称“徽术”。
　　刘徽以后，探求圆周率有成就的学者，先后有南朝时代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圆周率数值为3.1428；皮延宗求出圆周率值为22／7≈3.14。以上的科学家都为圆周率的研究推算做出了很大贡献，可是和祖冲之的圆周率比较起来，就逊色多了。
　　祖冲之认为自秦汉以至魏晋的数百年中研究圆周率成绩最大的学者是刘徽，但并未达到精确的程度，于是他进一步精益钻研，去探求更精确的数值。它研究和计算的结果，证明圆周率应该在3.1415926和3.1415927之间。他成为世界上第一个把圆周率的准确数值计算到小数点以后七位数字的人。直到一千年后，这个记录才被阿拉伯数学家阿尔·卡西和法国数学家维叶特所打破。祖冲之提出的“密率”，也是直到一千年以后，才由德国 称之为“安托尼兹率”，还有别有用心的人说祖冲之圆周率是在明朝末年西方数学传入中国后伪造的。这是有意的捏造。记载祖冲之对圆周率研究情况的古籍是成书于唐代的史书《隋书》，而现传的《隋书》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他现传版本一样的关于祖冲之圆周率的记载，事在明朝末年前三百余年。而且还有不少明朝之前的数学家在自己的著作中引用过祖冲之的圆周率，这些事实都证明了祖冲之在圆周率研究方面卓越的成就。
　　那么，祖冲之是如何取得这样重大的科学成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基础之上的。从当时的数学水平来看，祖冲之很可能是继承了刘徽所创立和首先使用的割圆术，并且加以发展，因此获得了超越前人的重大成就。在前面，我们提到割圆术时已经知道了这样的结论：圆内接正n边形的边数越多，各边长的总和就越接近圆周的实际长度。但因为它是内接的，又不可能把边数增加到无限多，所以边长总和永远小于圆周。
　　祖冲之按照刘徽的割圆术之法，设了一个直径为一丈的圆，在圆内切割计算。当他切割到圆的内接一百九十二边形时，得到了“徽率”的数值。但他没有满足，继续切割，作了三百八十四边形、七百六十八边形……一直切割到二万四千五百七十六边形，依次求出每个内接正多边形的边长。最后求得直径为一丈的圆，它的圆周长度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之间，上面的那些长度单位我们现在已不再通用，但换句话说：如果圆的直径为1，那么圆周小于3.1415927、大大不到千万分之一，它们的提出，大大方便了计算和实际应用。
　　要作出这样精密的计算，是一项极为细致而艰巨的脑力劳动。我们知道，在祖冲之那个时代，算盘还未出现，人们普遍使用的计算工具叫算筹，它是一根根几寸长的方形或扁形的小棍子，有竹、木、铁、玉等各种材料制成。通过对算筹的不同摆法，来表示各种数目，叫做筹算法。如果计算数字的位数越多，所需要摆放的面积就越大。用算筹来计算不象用笔，笔算可以留在纸上，而筹算每计算完一次就得重新摆动以进行新的计算；只能用笔记下计算结果，而无法得到较为直观的图形与算式。因此只要一有差错，比如算筹被碰偏了或者计算中出现了错误，就只能从头开始。要求得祖冲之圆周率的数值，就需要对九位有效数字的小数进行加、减、乘、除和开方运算等十多个步骤的计算，而每个步骤都要反复进行十几次，开方运算有50次，最后计算出的数字达到小数点后十六、七位。今天，即使用算盘和纸笔来完成这些计算，也不是一件轻而易举的事。让我们想一想，在一千五百多年前的南朝时代，一位中年人在昏暗的油灯下，手中不停地算呀、记呀，还要经常地重新摆放数以万计的算筹，这是一件多么艰辛的事情，而且还需要日复一日地重复这种状态，一个人要是没有极大的毅力，是绝对完不成这项工作的。
　　这一光辉成就，也充分反映了我国古代数学高度发展的水平。祖冲之，不仅受到中国人民的敬仰，同时也受到世界各国科学界人士的推崇。1960年，苏联科学家们在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有贡献的科学家的名字，来命名那上面的山谷，其中有一座环形山被命名为“祖冲之环形山”。
　　祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，适应了当时生产实践的需要。他亲自研究过度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。
　　古代有一种量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，那这种量器的容积有多大呢？要想求出这个数值，就要用到圆周率。祖冲之利用他的研究，求出了精确的数值。他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”（另一种量器，与上面提到的 都是类似于现在我们所用的“升”等量器，但它们都是圆柱体。），由于刘歆所用的计算方法和圆周率数值都不够准确，所以他所得到的容积值与实际数值有出入。祖冲之找到他的错误所在，利用“祖率”校正了数值。为人们的日常生活提供了方便。
　　以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。祖冲之在前人的基础上，经过刻苦钻研，反复演算，将圆周率推算至小数点后7位数，并得出了圆周率分数形式的近似值。祖冲之究竟用什么方法得出这一结果，现在无从查考；如果设想他按刘徽的“割圆术”方法去求的话，就要计算到圆内接16000多边形，这需要花费多少时间和付出多么巨大的劳动啊！
　　据《隋书·律历志》记载，祖冲之以一忽（一丈的一亿分之一）为单位，求直径为一丈的圆的周长，求得盈数为3.1415927、肭数为3.1415926，圆周率的真值介于盈肭两数之间。《隋书》没有具体说明祖冲之是用什么方法计算出盈肭两数的。一般认为，祖冲之采用的是刘徽的割圆术，但也有别的多种猜测。这两个近似值准确到小数第7位，是当时世界上最先进的成就。直到一千多年以后，15世纪阿拉伯数学家卡西和16世纪法国数学家F.韦达才得到更精确的结果。祖冲之确定了π的两个渐近分数，约率22/7和密率355/113。其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世纪才由德国人V.奥托发现。它是三个成对奇数113355再折两段组成，优美、规整、易记。为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家把圆周率π的密率叫做“祖率”。
　　祖冲之在数学领域的成就，只是中国古代数学成就的一个方面。实际上，14世纪以前中国一直是世界上数学最为发达的国家之一。比如几何中的勾股定理，在中国早期的数学专著《周髀算经》（大约于公元前2世纪成书）中即有论述；成书于公元1世纪的另一本重要的数学专著《九章算术》，在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；13世纪时，中国就已经有了十次方程的解法，而直到16世纪，欧洲才提出三次方程的解法。
　　【祖冲之与其儿子的贡献】
　　祖冲之还与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算。他们当时采用的一条原理是：“幂势既同，则积不容异。”意即：位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等。在西方被称为“卡瓦列利原理”，但这是在祖冲之以后一千多年才由意大利数学家卡瓦列利（Cavalieri）发现的。为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，数学上也称这一原理为“祖暅原理”。
　　祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的。祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
　　祖冲之的儿子祖暅也是中国古代著名数学家。小时习学家传的学业，深入研究的十分精细，也有灵巧的心思。技艺达到神妙的境地，就是古代传说中的鲁班和倕（传说为舜时的巧匠）这样的巧匠也难以超过他。当他思考到深入之处时，雷霆之声也难以入耳。曾经在走路时遇到仆射徐勉，头竟撞到了徐勉身上，徐勉呼叫他才觉察到他的存在。他的父亲所改定的何承天的历法当时尚未施行，梁武帝天监初年，祖暅之又重新加以修订，在这时才开始施行。职位至太舟卿。
【史料记载】
　　《南史·祖冲之传》 卷七十二 列传第六十二 
　　祖冲之字文远，范阳遒人也。曾祖台之，晋侍中。祖昌，宋大匠卿。父朔之，奉朝请。 
　　冲之稽古，有机思，宋孝武使直华林学省，赐宅宇车服。解褐南徐州从事、公府参军。 
　　始元嘉中，用何承天所制历，比古十一家为密。冲之以为尚疏，乃更造新法，上表言之。孝武令朝士善历者难之，不能屈。会帝崩不施行。 
　　历位为娄县令，谒者仆射。初，宋武平关中，得姚兴指南车，有外形而无机杼，每行，使人于内转之。升明中，齐高帝辅政，使冲之追修古法。冲之改造铜机，圆转不穷，而司方如一，马钧以来未之有也。时有北人索驭驎者亦云能造指南车，高帝使与冲之各造，使于乐游苑对共校试，而颇有差僻，乃毁而焚之。晋时杜预有巧思，造欹器，三改不成。永明中，竟陵王子良好古，冲之造欹器献之，与周庙不异。文惠太子在东宫，见冲之历法，启武帝施行。文惠寻薨又寝。 
　　转长水校尉，领本职。冲之造安边论，欲开屯田，广农殖。建武中，明帝欲使冲之巡行四方，兴造大业，可以利百姓者，会连有军事，事竟不行。 
　　冲之解锺律博塞，当时独绝，莫能对者。以诸葛亮有木牛流马，乃造一器，不因风水，施机自运，不劳人力。又造千里船，于新亭江试之，日行百馀里。于乐游苑造水碓磨，武帝亲自临视。又特善算。永元二年卒，年七十二。着易老庄义，释论语、孝经，注九章，造缀述数十篇。子暅之。
　　暅之字景烁，少传家业，究极精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕无以过也。当其诣微之时，雷霆不能入。尝行遇仆射徐勉，以头触之，勉呼乃悟。父所改何承天历时尚未行，梁天监初，暅之更修之，于是始行焉。位至太舟卿。
　　暅之子皓，志节慷慨，有文武才略。少传家业，善算历。大同中为江都令，后拜广陵太守。
　　侯景陷台城，皓在城中，将见害，乃逃归江西。百姓感其遗惠，每相蔽匿。广陵人来嶷乃说皓曰：“逆竖滔天，王室如毁，正是义夫发愤之秋，志士忘躯之日。府君荷恩重世，又不为贼所容。今逃窜草间，知者非一，危亡之甚，累棋非喻。董绍先虽景之心腹，轻而无谋，新克此州，人情不附，袭而杀之，此一壮士之任耳。今若纠率义勇，立可得三二百人。意欲奉戴府君，剿除凶逆，远近义徒，自当投赴。如其克捷，可立桓、文之勋；必天未悔祸，事生理外，百代之下，犹为梁室忠臣。若何？”皓曰：“仆所愿也，死且甘心。”为要勇士耿光等百余人袭杀景兖州刺史董绍先，推前太子舍人萧勉为刺史，结东魏为援。驰檄远近，将讨景。景大惧，即日率侯子鉴等攻之。城陷，皓见执，被缚射之，箭遍体，然后车裂以徇。城中无少长，皆埋而射之。
祖冲之星
　　1964年11月9日为了纪念祖冲之对我国和世界科学文化作出的伟大贡献，紫金山天文台将1964年发现的，国际永久编号为1祖冲之888的小行星命名为为“祖冲之星”.

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