杨辉

　　杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带。宋元数学四大家之一的杨辉，是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。
　　说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起。
　　一天，台州府的地方官杨辉出外巡游，路上，前面铜锣开道，后面衙役殿后，中间，大轿抬起，好不威风。
　　迷人的春天慷慨地散布着芳香的气息，带来了生活的欢乐和幸福。杜鹃隐藏在芒果树的枝头。用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来唤醒人们的希望。
　　成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上，发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。
　　杨辉撩起轿帘，看那杂花生树，飞鸟穿林，真乃春色怡人淡复浓，唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景，旖旎风光。
　　走着、走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”
　　杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面。衙役急忙说：“是不是把这孩童哄走？”
　　杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”
　　孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”
　　“什么算式？”
　　“就是把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处。”
　　杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字，从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。
　　杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来。我们把算式摆出来：
　　（在左边的方块中，无论你横、竖、斜着加结果都是15。请试一下）
　　孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁你的时间了，到我家吃饭吧！”
　　杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生。”
　　孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”
　　孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。
　　杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家去吧。下午你到学校去，我在那儿等你。”
　　下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽。自此，这孩童方才有了真正的先生。
　　教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”
　　那先生笑着说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。”
　　教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履，一五居中央。”
　　杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”
　　教书先生也不知出处。杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。
　　他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
　　按照类似的规律，杨辉又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。
　　后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。
　　杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。
　　纵横图，也叫幻方，它要求把从1到n2个连续的自然数安置在n2个格子 理。
　　但长期以来，人们习惯于把它当作纯粹的数学游戏，没有给予应有重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学等领域中，找到了用武之地。
　　杨辉可以说是世界上第一个给出了如此丰富的纵横图和讨论了其构成规律的数学家。
　　杨辉除此成就之外，还有一项重大贡献，就是“杨辉三角”。
　　有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。
　　图中的数字排列成一个大三角形，位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上面两数字之和。从第二行开始，这个大三角形的每行数字，都对应于一组二项展开式的系数，下面试举例说明：
　　在第三行中，1、3、3、1，这4个数字恰好是对应于（X+1）3=X3+3X2+3X+1；
　　再如第四行对应于（X＋1）4=X4+4X3+6X2+4X+1。以此类推。
　　杨辉把贾宪的这张画忠实地记录下来，并保存在自己的《详解九章算术》一书中。
　　后来人们发现，这个大三角形不仅可以用来开方和解方程，而且与组合、高阶等差级数、内插法等数学知识都有密切关系。
　　在西方，直到16世纪才有人在一本书的封面上绘出类似的图形。法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”。
　　杨辉除上述成就外，还分别写了《日用算法》、《乘除通变本末》和《田亩比类乘除捷法》等书，这为后世的人们了解当时的数学面貌提供了极为重要的资料。
　　杨辉的几部著作极大地丰富了我国古代数学宝库，为数学科学的发展做出了卓越的贡献，他不愧为“宋元四大家”之一。
　　他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。
　　他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分，勾股等九类。 
　　他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。
　　扬辉对筹算乘除捷算法进行了总结和发展，创“纵横图”之名．继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数的研究创“垛积术”．又将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为九类。 

　　(一)主要著述
　　杨辉一生留下了大量的著述，它们是：《详解九章算法》12卷(1261年)，《日用算法》2卷(1262年)，《乘除通变本末》3卷(1274年，第3卷与他人合编)，《田亩比类乘除捷法》2卷(1275年)，《续古摘奇算法》2卷(1275年，与他人合编)，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。
　　《详解九章算法》现传本已非全帙，编排也有错乱。从其序言可知，该书乃取魏刘微注、唐李淳风等注释、北宋贾宪细草的《九章算术》中的80问进行详解。在《九章算术》9卷的基础上，又增加了3卷，一卷是图，一卷是讲乘除算法的，居九章之前；一卷是纂类，居书末今卷首图、卷l乘除，卷2方田、卷3粟米、卷4衰分的衰分、反衰诸题、卷6商功的诸同功问题已佚。卷4衰分下半卷、卷5少广存《永乐大典》残卷中，其余存《宜稼堂丛书》中。从残本的体例看，该书对《九章算术》的详解可分为：一、解题。内容为解释名词术语、题目含义、文字校勘以及对题目的评论等方面。二、明法、草。在编排上，杨辉采用大字将贾宪的法、草与自己的详解明确区分出来。三、比类。选取与《九章算术》中题目算法相同或类似的问题作对照分析。四、续释注。在前人基础上，对《九章算术》中的80问进一步作注释。杨辉的“纂类”，突破《九章算术》的分类格局，按照解法的性质，重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
　　杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。
　　杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 
　　           1
　          　1 1
　　        1  2 1
　       　1 3  3 1
　    　1  4  6  4  1
　  　1  5  10 10  5 1
　　1  6  15  20  15  6 1
　　.....................................
　　杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。 
　　《日用算法》，原书不传，仅有几个题目留传下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。
　　《乘除通变本末》三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献。上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解。
　　《田亩比类乘除捷法》，其上卷内容是《详解九章算法》方田章的延展，所选例子非常贴近实际。下卷主要是对刘益工作的引述。杨辉在《田亩比类乘除捷法》序中称“中山刘先生作《议古根源》。……撰成直田演段百间，信知田体变化无穷，引用带从开方正负损益之法，前古之所未闻也。作术逾远，罔究本源，非探喷索隐而莫能知之。辉择可作关键题问者重为详悉著述，推广刘君垂训之意。”《田亩比类乘除捷法》卷下征引了《议古根源》22个问题，主要是二次方程和四次方程的解法。 
　　《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有“聚五”“聚六”：聚八”“攒九”“八阵”“连环”等图。有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”凑成相等的和数。卷下评说《海岛》也有极高的科学价值。
　　杨辉著作大都注意应用算术，浅近易晓。其著作还广泛征引数学典籍和当时的算书，中国古代数学的一些杰出成果，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”“增乘开方法，”幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。 
　　(二)主要研究成果
　　杨辉的数学研究与数学教育工作之重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这是由当时的社会状况决定的。唐代中期以后，社会经济得到较大发展，手工业和商业交易都具有相当的规模，因而，人们在生产、生活中需要数学计算的机会，较前大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法。为适应社会对数学的这种需求，中晚唐时期出现了一些实用的算术书籍。但是，这些书籍除了《韩延算术》，被宋人误认为《夏侯阳算经》而刊刻流传到现在外，都已失传。《韩延算术》大约编写于公元770年前后，书中介绍了很多乘除捷法的例子。比如，某数乘以42可以化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12可以化为某数除以2，再除以6。对于更复杂的问题可同样处理。通过将乘数、除数分解为一位数，可以使运算在一行内实现，简化了运算，提高了速度。韩延还介绍了其他一些简捷算法。比如“身外添加四”、“隔位加二”。北京科学家沈括也总结了增成、重因等捷算法。
　　杨辉生活在南宋商业发达的苏杭一带，进一步发展了乘除捷算法。他说：“乘除者本钩深致远之法。《指南算法》以‘加减’、‘九归’、‘求一’旁求捷径，学者岂容不晓，宜兼而用之。”在前人的基础上，他提出了“相乘六法”：一曰“单因”，即乘数为一位数的乘法；二曰“重因“，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰“身前因”，即乘数末位为一的两位数乘法，比如257×21＝257×20十257，实际上，身前因就是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成。四曰相乘，即通常的乘法；五曰“重乘”，就是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰“损乘”，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，可以10倍被乘数中，减去被乘数的—、二、三倍。杨辉还进一步发展了唐宋相传的求一算法，总结出了“乘算加法五术”、“除算减法四术”。求一实际上就是通过倍、折、因将乘除数首位化为一，从而用加减代乘除。杨辉的“乘算加算加法五术”，即“加一位”、“加二位”、“重加”、“加隔位”、“连身加”。乘数为11至19的，用加一位；乘数为l0l至199的，用加二位法；乘数可分为两因数的积，且可用加一或加二时，称为重加；乘数为101至l09时，用隔位加；乘数为21至29、20l至299时，用连身加。例如，342×56的计算，用现代符号写出，便是：342×56＝342×112十2＝(34200十342×l2)十2＝(34200十3420十342×2)十2。其“除算减法四木”即“减一位”、“减二位”、“重减”、“减隔位”，用法与乘算加法类似。
　　北宋初年出现的一种除法——增成法，在杨辉那里得到进一步的完善。增成法的优点在于用加倍补数的办法避免了试商，但对于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人改进了它，总结出了“九归古括”，包含44句口诀。杨辉在其《乘除通变算宝》中引《九归新括》口诀32句，分为“归数求成十”、“归数自上加”，“半而为五计”三类。
　　客观上讲，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。
　　纵横图，即所谓的幻方。早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》都记载有“九宫”即三阶幻方，千百年来一直被人披上神秘的色彩。杨辉创“纵横图”之名。在所著《续古摘奇算法》上卷作出了多种多样的图形。图ll是四阶纵横图；图12是百子图，即十阶纵横图。 其每行每列数之和为50—5(对角线数字之和不是505)；图13是“聚八”图，杨辉按“二十四子作三十二子用”设子的这种幻方共有四圈，每圈数字之和为100； 图14是“攒九”图，用前33个自然数排列，达到“斜直周围各一百四十七”的效果。杨辉不仅给出了这些图的编造方法，而且对一些图的一般构造规律有所认识，打破了幻方的神秘性。这是世界上对幻方最早的系统研究和记录。自杨辉以后，明清两代中算家关于纵横图的研究相继不断。 
　　杨辉的另一重要成果是垛积术。这是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究。在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了若干二阶等差级数求和公式，其中除有一个即沈括的当童垛外，还有三角垛、四隅垛、方垛三式，用现今的记号表示就相当于下面三式： 
　　上述三式可由沈括之刍童公式推出。
　　对数学重新分类也是杨辉的重要数学工作之一。杨辉在详解《九章算术》的基础上，专门增加了一卷“纂类”，将《九章》的方法和246个问题按其方法的性质重新分为乘除、分率、合率、互换、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
　　杨辉不仅是一位著述甚丰的数学家，而且还是一位杰出的数学教育家。他一生致力于数学教育和数学普及，其著述有很多是为了数学教育和普及而写。《算法通变本末》中载有杨辉专门为初学者制订的“习算纲目”，它集中体现了杨辉的数学教育思想和方法。