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试论数学解题要素

作者:陈具才 周力平  来源:本站原创
发布/更新时间:2008-02-20 09:23:26



试论数学解题要素

陈具才 周力平

本文发表于《甘肃教育》1995年04期

【知网收录】(北大核心)

  数学解题在建立和发展数学认知结构,形成和增进数学思惟能力,培养和造就创造性精神等方面起着重要的作用。然而,题海无边,如何解题,就成了一个永恒的研究课题。
要加强解题的知识因索
  解题研究的一代宗师波利亚说过:“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。”所以要想成为解题能手,没有什么灵丹妙药和通天捷径,最根本的就是要学好数学基础知识并掌握其体系。“欲致鱼者先通水,欲致鸟者先树木。”除了理解知识,加深记亿外,要搞清各种概念、公式、定理和原理的来龙去脉,透过数量关系的表面形式深刻理解它们内在的联系和本质属性。有了充实、丰富和系统的知识功底,数学能力就会得以发展和提高,高效正确的解题就有了深厚的基础。
  张奠宙先生说得好:“解数学题的实质,就是意味着找出这样一个数学的一般原理(定义、公理、定理、法则、定律、公式)的序列,当应用它们到问题的条件或条件的推论(解法的中间结果)时,我们就得到问题所要求的答案。”那么,凭什么找出这个“序列”呢?
要掌握基本的数学思想和数学方法
  光拥有解题的知识宝库是不够的,还要有打开宝库的钥匙和用宝的窍门,这就是数学思想和数学方法。数学思想是抽象概括的结题指导思想,它提示了思考和解决问题的基本方向,足一种宏观策略,有着广泛的应用。诸如函数与方程,化归与转化,演绎与归纳,数形结合,分类讨论,类比联想,以退求进,正难则反等思想。数学方法是更具体,更有燥作性的措施,在应用中显得直接而有效。常用的数学方法有综合法、分析法、待定系数法、配方法、数学归纳法、参数法、反证法、比较法,构造法、判别式法等。对于一个具体问题,则需要在这“一大串钥匙”中挑选适当的一把或几把,来帮助我们打开知识之门,寻求解题之路,建构解题之“序列”。
要有合理的解题程序
  一遇到题目,不加思索或者对紊乱的思绪不作整理,就匆忙下手,急于求成,往往是欲速则不达,或者事倍而功半。有条不紊地思考分析问题是解题成功的关健。解题的一般程序如下。
  1.审题。对这一步决不可掉以经心,要把题意理解准确,搞清目标;要把各个条件找全,化隐为显;要思考每个条件的作用,随时调用。否则就会造成解题失误。
  2.分所判断,选择解法。通过审题,在收集、动员了题目中已知的信息之后,要对这些信息进行组合、整理和加工。先应进行联想,考查一下自己足否见过或解过类似的题目,可否沿用同一解法来解这道题或者作些适当的变换才可能。正如波利亚所建议的,“你是否知道与此有关的问题,你是否知道一个可以用得上的定理”,“看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似末知数的熟悉的问题”。这些尝试如不成功,则可看看问题的几何背景、特殊情形、反面情况等,也许由此预见解题思路。总之,需要在所有信息标示的蛛丝蚂迹中去探寻,或从目标所提供的“情报”中找到解题突破口;或从问题条件出发,紧盯目标,抓主要矛盾,顺藤摸瓜,重点突玻。
  例如,1993年高考题,α、β是关于χ的方程χ2+aχ+b=0的二实根,若|α|<2,|β|<2,求证:2|a|<4+b且|b|<4。我们可作如下分析,结论是关于系数a,b的式子,而条件中有根α、β,这就使我们想到用韦达定理变结论为2|α+β|<4+αβ,且|αβ|<4。后者显然成立,欲证前者,注意到α、β同在一式里,而条件中的α、β是分离的,故可作出反应:分解结论。又如何处置绝对值呢?对策有二:或转化为-4-αβ<2(α+β)<4+αβ(即(α+2)(β+2)>0且(α-2)(β-2)>0),或考虑平方差(4+αβ)2-[2(α+β)]2=(4-α2)(4-β2)>0,至此,条件与结论之同的“大山隧道”己经打通,找到了证明思路。
诚然,我们在探寻解题途径时,常会一筹莫展,束手无策。这时,我们不应去走死路一条,而要及时果敢地进行思维转换,另辟蹊径,有时通过严谨的逻辑思维或常规的分析方法,也可能产生顿悟或灵感,思维瞬间闪光。
例如,1985年高考题:设A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z,a、b∈R},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144,x、y∈R},问是否存在a与b,使(1)A∩B≠∅,(2)(a,b)∈C同时成立?这是一道探索性半开放问题,假设存在满足(1)(2)的a、b,则有n∈Z使an+b=3n2+15与a2+b2≤144同时成立。欲从参数最多的an+b处着手突破(一反常规,整体考虑,用几何意义或关于a、b的代数混合组是否有解去研究),但又无法下手,迷茫之际,发现3n2+15与a2+b2中与a、b“各自为阵”,柯西不等式正具有这种分离作用。便有3n2+15=an+b≤0,∴n2=3,这与n∈Z矛盾。故不存在符合条件的a和b。这个解法奇巧简捷,别出心裁,出奇制胜。
  3.实施解题。(略)
  4.检验反思。解题过程书写完毕后,不应置诸高阁,要在刚刚完成任务,而且自己的体验还在头脑中保持着新鲜之感的时候,恰如其分地去回顾自己刚才的所作所为,将大大有利于探索自己刚才克服困难的关键之处,还可以有目的地对自己提出许多有益的问题。如:关键在哪里?什么地方还可以完成得更好些?我为什么没有觉察到这一点?要看出这一点必须具备哪些知识?应该从什么角度去考虑?这里有没有值得学习的诀窍可供以后遇到类似问题时应用?(波利亚语)只要坚持不懈地如此反思,何愁能力不会提高。
要积累解题经验,探索解题捷径
  一个题目的解法往往不止一种,但比较这些解法,却有繁简与优劣之分,这就需要我们在解题实践中注意积累经验,探索规律,不断总结,从而有所发现、有所提高。要勤思精练,在形式不同的众多题目中,注意选取性质相近、思路相仿、方法类同的题目,进行合理归纳,分类整理,发现联系,总结特征,掌握基本题型的技能技巧,举一反三,触类旁通,这是提高解题效率的有效途径。

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