数学教学中最美丽的错误，就是赶进度

小王很纳闷：“学生当初不是学得挺好的嘛，怎么会这样？”他不甘心，想把成绩扳回来。很快到了期末，有很多复习学案。小王把学案发下去，让学生提前做好，自己在课上评讲，这样复习进度就能快速推进。很快，小王觉得复习学案不够用了，再看老李，一张学案居然能让学生做三四节课！

“这复习速度慢的，学案能用的完吗？”小王感觉自己期末稳操胜券，得意地笑了。不料，期末考试成绩出来，老李班的成绩指标全面横扫小王班，平均分还足足高了10分！看着成绩，小王觉得好奔溃。

小王最大的问题，在于盲目地赶进度。这是许多老师都很容易犯的错误，尤其是学生基础不好，却又有点希望的时候。盲目赶进度的老师，通常会压缩学生消化知识的时间，或者干脆让学生用课外时间来做这件事情，导致学过的知识难以及时得到复习。

这样的结果，就是学生有时间和知识接触，却没时间把知识留住。因为在学习的同时，对知识的遗忘也拉开了序幕。一个知识点如果不及时回顾，一个礼拜后可能就忘掉七七八八了，更不用说等到期末复习了。

老师能赶的，其实只是自己的教学进度，而决定学生成绩的，是学生的学习进度，这是赶不了的。如果忽略了学生的记忆规律，把教学进度等同于学生的学习进度，学生只能是学得越快，忘得也越快。老师在教学中投入的辛苦，到头来还是白费功夫。

要想帮助学生把学过的知识有效地巩固，老师不妨从遗忘的规律入手，寻找解决问题的出路。

1.遗忘有什么规律？

在心理学上，遗忘是指对识记过的材料不能再认与回忆，或者错误的再认与回忆，简单说，就是以前学过的东西，现在要么想不起来，要么记错了。比如有的学生见到“求半径为5的半圆的面积”，问我圆的面积公式是什么，这是遗忘；有的学生见到“求50°的余角”，很开心地写上130°，这是把知识点记错了，同样也是遗忘。

我们为什么会遗忘呢？亚里士多德和桑代克的“记忆痕迹衰退说”认为，遗忘是记忆痕迹得不到强化而逐渐减弱，随着时间的推移而逐渐消退的结果。简单说，记忆就像我们在海浪冲刷的海滩踩下的脚印，如果不再理会，脚印很快就会被冲淡消失；如果你希望脚印能够保留下来，就要经常回来踩一踩，把脚印加深一点。

德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯（Hermann Ebbinghaus），在这个理论的基础上，通过严格的实验研究，绘制出一条遗忘进程的函数曲线，用来反映记忆保持情况与时间的关系，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线。

图中的数轴表示记忆保持量，用百分比显示；横州表示记忆时间，用天数表示。从左往右看，遗忘曲线刚开始比较陡，然后越往右越平缓，这揭示了遗忘的一般规律：随着时间的流逝，遗忘的速度会先快后慢。

就拿上图来说，刚学完时，记忆保持量是100%，第一天下来，只剩下33.7%，足足遗忘了近七成（100%减去33.7%）的记忆！随后，到了第六天，保持量还有25.4%，五天的时间遗忘的记忆不到三成（33.7%减去25.4%再除以33.7%），遗忘速度明显慢下来了。

有的人被上图的数据吓坏了：“难道我辛辛苦苦背的一篇课文，睡一觉就只记得标题啦？”其实没必要紧张，遗忘曲线最大的价值，在于反映了遗忘速度的变化规律，而不是遗忘速度本身。上图的数据之所以看起来“惨烈”，是因为艾宾浩斯用无意义音节组做的实验，而且在实验中尽可能地排除复杂环境，忽略人的个性特点。

什么是无意义音节？艾宾浩斯把德语中的字母分为两类：一类是元音字母，有点像我们汉语中的韵母；另一类是辅音字母，有点像我们汉语中的声母。把一个元音字母夹在两个辅音字母中间，形成一个组合，如果这个组合在德语辞典中找不到，就把它称为无意义音节，我们无法从中听出什么内涵或者意义，只能靠强记，比如zog, xot, gij, nov, 等等。

艾宾浩斯发现，不同材料的遗忘趋势大体上是一致的，但如果识记的内容有意义，我们的遗忘速度会比无意义材料的遗忘速度更缓慢，回忆起来也更容易。下图反映的，就是诗与散文这两种有意义材料，和无意义音节的遗忘曲线的对比，显然，诗和散文的遗忘曲线更平坦，这意味着它们的遗忘速度更慢。

遗忘曲线忽略了人的个性，它是一个对所有人记忆遗忘特点的笼统概括。每个人因为生理特点和生活经历不同，所以记忆方式和特点可能也会不一样，从而对记忆的遗忘速度也不尽相同。比如小孩子背一首诗就像过家家似的，老人家可能就比较费劲。下图反映的，是年轻人和老年人的遗忘曲线对比，可以看出，年轻人的遗忘曲线要更平坦些，意味着他们的遗忘速度更慢。

艾宾浩斯还发现，如果我们采取一定的措施及时复习，并能恰到好处地卡好时间段时，我们就能很好地减缓遗忘的速度，甚至是停止记忆的流失，就像下图的遗忘曲线。

这条遗忘曲线平坦得近乎水平线，意味着遗忘速度几乎为0。有人做过一个实验，两组学生学习一段课文， 甲组在学习后不复习，一天后记忆率36%，一周后只剩13%。乙组按艾宾浩斯记忆规律复习，一天后保持记忆率98%，一周后保持86%， 乙组的记忆率明显高于甲组。这足以看出及时复习的威力！

2.老师如何帮助学生克服遗忘？

遗忘是记忆的孪生兄弟，也是记忆的头号大敌。记忆力再强的人，也逃不过时间的作用。学生如果想要把辛辛苦苦学到的知识长期地保存在大脑里，最好的选择，不是企图消灭遗忘，而是降低遗忘的概率。为此，老师能做什么来帮助学生呢？

（1）理解数学知识

数学是一门逻辑严谨、自成体系的学科，如果学生能把数学知识点的整体框架把握好，即使某个知识点暂时忘记了，也可以通过知识点之间的联系，把它重新回忆起来。

比如特殊三角函数值，初中要记的一共有9个，有的学生不遗余力地背诵和默写，结果一到做题，写不出的错误不会犯，张冠李戴的错误犯不断。比如把30°的正切写成正弦，把45°的正弦写成60°的正切等等。其实只要花点时间，理解计算三角函数的原理，做题时如果不记得，就停下来，画一个特殊直角三角形进行推理，结果一下子就出来了，还能确保万无一失。起初可能慢点，但是随着推理越来越熟练，停顿的时间也会越来越短，对解题速度几乎没有影响。

老师应该帮助学生明白知识点的由来和发展，同时积极寻找知识点之间的联系，加深对知识点的理解，这样可以极大地降低遗忘的概率。所谓磨刀不误砍柴工，教学进度有必要推得那么快吗？没必要，我们应该关注的，应该是学生的理解速度，而不是我们的讲课速度。

学生怎样才算理解？理解有两个表现，一个是能用自己的话来复述知识，另一个是能用知识来解决问题。因此，老师不妨做两件事：

第一件事，就是鼓励学生多说。可以让部分学生上台展示，其他人补充质疑；可以让学生小组讨论，让思维在争辩中碰撞；可以抽查学生给自己讲解，看看是否真懂；还可以布置周末作业，让学生围绕知识点写故事，既锻炼了复述能力，又能提高写作水平，比单纯发一张周末试卷更有价值。

第二件事，就是鼓励学生多用。可以提供更多的练习，让学生有充足的练习机会；可以开展一题多解，推动学生进行多维度思考；还可以开展一题多变，让学生在适应问题的变化中，体会知识之间的联系。

（2）掌握复习间隔

艾宾浩斯在记忆保持曲线的基础上发明了一种复习方法，叫做351-351。具体做法是，当我们将需要学习的内容全部记住后，要尽量在3小时之内复习一遍，接下来，在5小时内、10小时内、3天内、5天内、10天内分别复习一遍，经过这6次的学习，长期记忆就会形成，我们对该内容的记忆力就会相当深刻，这里的关键，在于复习时用复述的方式来增强效果。

老师有三种方式推动学生复习：课后作业、课前小测和周测。学生学完一个知识点后，老师可以在当晚的作业中，设置相应的题目；在接下来的三天，每节课的课前小测，以及连续两周的周测，也安排一定量的题目，这样学生就相当于把知识点复习了6次，以此类推。

作业、小测和周测还有一个好处，就是提供反馈，帮助老师及时了解哪些学生学的不错，哪些学生有点遗忘了，这时老师就可以有针对性地采取补救措施。比如设立学习小组，利用每周学校安排的培辅时间进行帮扶工作。

（3）提高思维能力

很多时候，容易忘记是因为我们缺乏创造性的思维，就好像一个字母“O”，你能把它想象成几种东西呢？具有一定思维能力的人会把它想象成地球、圆圈、零、鸡蛋、窗户、头、面包圈、铁环、杯口、马车车轮、帽子等物件。这样的思维可以让我们为事物建立联系，从而令遗忘变缓。

老师可以从三个方面，帮助学生提高思维能力：

第一，善用图像思维

这里的图像思维，指的是视觉化思维，就是把思维用视觉的形式呈现出来。视觉神经科学领域的研究成果显示，人脑活动总量的近2/3都用于支持视觉功能。大约1/3的脑部神经元专门处理视觉信息，还有1/3的神经元同时处理视觉和其他感官信息，最后1/3的神经元处理剩下的各类信息，所以视觉记忆更加深刻。

有时候老师噼里啪啦讲一大堆，学生却听得云里雾里，这是因为这个老师没有启动学生的视觉，只打动了学生的三分之一。

如果知识点跟图形有关，老师不妨把图形放在黑板中央，一边加工一边讲解，这样学生会记得更牢。比如总结全等三角形常用的判定方法，可以把图形作为主角进行归纳，如下图。

如果知识点和图形无关，老师不妨用学生熟悉的物品或情境来打比方，让学生在头脑中产生画面，形成深刻的记忆。比如，一顿正常饮食的饱和脂肪酸不得超过20克，而一份中包爆米花却含37克，几乎是成人一天所需要的饱和脂肪酸的量，这如何帮助学生理解？美国的阿特·希尔费曼用一张图就解决了。

第二，善于运用比喻

很多时候，比喻可以把陌生的、难以理解的事物变成我们熟悉的东西，把枯燥的理论性问题形象化、具体化。老师在帮助学生记忆的过程中，应该尽量把所要记忆的内容比喻成某些熟悉的事物，这样能够加快记忆的速度。

比如学习菱形和矩形，有个同事用了一个很经典的比喻：菱形和矩形就像平行四边形生出来的两个儿子，因为是亲生的，所以它们都继承了平行四边形所有的性质，不仅如此，它们还发展了自己的个性，像菱形的四条边相等和对角线垂直，像矩形的四个角为直角和对角线相等。同事边说边板书，学生边笑边记住。

第三，善于建立联系

记忆一个独立的事物并不怎么容易，但如果老师能帮助学生将这个事物与其他事物建立一定的联系，学生就能够举一反三，记起一件事物，就能记起与之相关联的所有事物。这也是我们常说的联想。

目前为止，常用的联想规律有四种：

第一种是相似联想，就是由一个东西想到与之相似的另一个东西。比如由全等三角形的对应角相等，想到相似三角形的对应角也相等。

第二种是接近联想，就是由一个东西想到与之在时间和空间上接近的另一个东西。比如一条直线上有三个角，中间的角是直角，由此想到两边的角加起来等于90°。

第三种是对比联想，就是由一个东西想到与之性质或特点相反的另一个东西。比如收入不变的情况下，由利润的最大值，想到成本的最小值。

第四种是因果联想，就是由一个东西想到与之在逻辑上有因果关系的另一个东西。比如看到平行线，就想到可能会出现相等的同位角和内错角，或者是互补的同旁内角。

尽管记忆很重要，但我们必须明白，记忆并不是学生最终的目标，它只是围绕目标服务的一种方法和手段，记忆的真正目标是长期贮备足够的知识和利用这些知识解决问题。我们老师能做的，就是帮助学生提高记忆的效率，降低遗忘的概率。