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不妨顺其自然

作者:陈具才  来源:本站原创
发布/更新时间:2006-04-14 23:56:25



  多年前的一节数学课,讲的是轴对称问题. 
  我先让学生研究一般方法.怎样求点P(x。, y。)关于直线Ax+By+C=0(AB≠0)的对称点Q(x1, y
1)?.同学们主要提出了两种建立方程组的方案:
 ①    ②
  经比较,一致认为方案②较好.
  接着,我让学生进行具体练习.分别求出点(1,2)关于下列直线的对称点:
  ⑴ y=-x;  ⑵ y=x+3;  ⑶ x+y=1;  ⑷ 3x-3y+2=0. 
  多半同学都得出了正确结果:⑴(-2, -1);  ⑵(-1, 4);  ⑶(-1, 0);  ⑷(4/3, 5/3). 
  我还准备了两道有关轴对称的综合例题,例1已抄到黑板上并开始分析了.就在这时,“半路上杀出一个程咬金”,学生甲突然打断了我的讲课:“老师,我发现了一个非常简单的办法!”我心想,莫非是我将要讲的解法2,让他说吧.
  生甲:“前头做的四个求对称点的题,都可以这样做:⑴∵x=-y, y=-x,∴把点(1,2)的坐标代入这两式的右边,就分别得到了所求对称点的横、纵坐标;⑵∵x=y-3, y=x+3,∴把点(1,2)的坐标代入这两式的右边,就同样得到了对称点的横、纵坐标;我试了⑶和⑷,这样做都是对的.因此,我觉得求一个点关于一条直线的对称点的简便办法是,先从对称轴方程中分别解出x和y的表达式,把给定点的坐标代入这两个式子的右边,就得到了它的对称点的横、纵坐标.”
  这是我始料不及的,我也从来没想到过有这种奇巧的方法.学生的发现令人振奋但我又不敢轻易下结论.现在的问题是,学生甲讲得确有道理,但需进一步证实.这需要时间,顺此下去,显然无法完成预定的教学任务.怎么办呢?权衡利弊,我决定放弃原定计划,和同学们一道来探讨甲同学所提方法的正误.
  师:“这真是一个有趣而有用的发现!我们把点(1,2)再换成(-3,1),分四组来验证一下甲同学的结论,每组做一道题.”
  都肯定了甲同学的结论.
  生乙:“刚才是换了点的坐标,再换一下对称轴的方程进行检验.” 师:“很好,不妨请大家试求点(1,2)关于直线x+2y+3=0的对称点.”
  不一会功夫,大家又得出了否定的结论.
  师:“难道甲同学的方法无用武之地吗?我想大家都不愿意善罢甘休的.我们再看看,甲同学的方法是不是适合某一类情形.”
  我心中无数,和同学们一道进入了重新审视的过程.我发现,练习题中的四个对称轴的斜率是±1,于是提醒学生注意各个对称轴的方程有无共性.
  生丙:“这四个方程都能写成x±y+C=0的形式,而x+2y+3=0不具备这种形式.”
  师:“很好!现在我们用甲同学的方法来分别写出点(x。, y。)关于直线x+y+C=0和x-y+C=0的对称点的坐标.”
  答案:((-y
-C, -x-C)和((y-C, x+ C))
  师:“好了,下面我们分两组分别用本节课开头提出的方法来证明上述结论.”…… 
  师:“今天,甲同学发现一个巧妙的解题方法,经过大家共同研究,特别是丙同学提出了限制条件,使这个方法得以完善.为表彰这两位同学的突出贡献,我们不妨称其为‘二张方法’(两人均姓张),大家同意吗?(鼓掌).
  好了,我们再来回顾一下‘二张方法’的具体内容…….要特别注意,当对称轴的斜率不是 ±1 时,‘二张方法’是不能用的.”

2004年4月


  * 本文是对早年一堂课的回顾,文中的“二张方法”被写进笔者后来发表在《数学教学研究》并被人大报复印刊资料中心转载的《掌握对称规律,运用对称思想》一文
  * 本文于2008.9获人民教育出版社、中学数学参考编辑部组织的
全国新课程教学课例大赛二等奖,专家评审结论是:《不妨顺其自然》,观点先进新颖,正如数学教育专家、著名特级教师马明先生所说:我在课堂上经常放弃原来的教学设计而沿着学生的思路进行探究,只要在思维发展、能力提高上取得效果,就是一节好课。这确是教学民主、尊重学生、以人为本的理念的体现,应该大力倡导。当然“放弃”不等于“放任”,教师的指导、点拨、调控还是必须的。此节课,源于一位学生的“敢闯”与“善闯”,教师因势利导,展开了一场卓有成效、跌宕起伏的讨论,对于学生的探究精神的树立与培养很具价值。

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